Coordenadas Circulares e Arte-Matemática.

Coordenadas Circulares foram definidas pela primeira vez em um livro chamado: The Mathematics Teacher, em 1971. Sua definição é a seguinte: "Consiste em dois eixos perpendiculares, chamados U e V. Cada ponto no eixo é o centro de uma circunferência que passa pela origem. O ponto (u, v) é definido como a interseção de uma circunferência centrada em u no eixo horizontal com outra centrada em v no eixo vertical." Este sistema de coordenadas pouco usual é bastante interessante, pois assíntotas verticais tornam-se pontos no eixo U. Neste notebook estão implementadas algumas funções e curvas neste sistema de coordenadas, as quais acredito que seus gráficos ficam interessantes. A mudança de coordenadas pode ser encontrado no artigo publicado por Elliot A. Tanis and Lee Kuivinen, chamado: Circular Coordinates and Computer Drawn Designs, publicado em: Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 3 (May, 1979), pp. 175-178.

Por Gabriel Ribeiro - estudante de graduação em matemática pela UFMG - sob escopo do Projeto Visitas no Mundo da Matemática, 2025.

  
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from math import *
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.special import *

px = 1/plt.rcParams['figure.dpi']

Função Gamma $\mathrm{\Gamma }$

A função Gamma é uma extensão do fatorial para números não naturais, com o argumento subtraído em 1.

$$\mathrm{\Gamma }(n-1)=n!\text{ ou }\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$$

Essa função pode ser estendida analiticamente a todos os números complexos de parte real positiva por meio da seguinte integral imprópria convergente:

$$\mathrm{\Gamma }(t)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{t-1}{e}^{-x}dx$$

A fução Gamma tem caráter extremamente assintótico verticalmente, isso quer dizer que, quando avaliada em uma certa vizinhança de seu domínio, ela varia muitíssimo, crescendo e decrescendo rapidamente. Isso pode ser verificado no gráfico que segue abaixo.

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

x = np.linspace(-2.999, 9, 2000000)

ax.plot(x, gamma(x), color='black', linewidth=0.7)

ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_xlim(-4, 9)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

Em coordenadas esféricas, as assíntotas verticais desaparecem: tornam-se pontos no eixo horizontal. Abaixo, segue o gráfico de uma família de funções Gamma, $v=\mathrm{\Gamma }(u)+c,u\in [-2.999,9],c\in [-10,10{]}_{\mathbb{N}}$

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

u = np.linspace(-2.999, 9, 2000000)

for c in range(-10, 11):

    v = gamma(u) + c

    denominator = u**2 + v**2

    s = (2 * u * (v**2)) / denominator
    t = (2 * (u**2) * v) / denominator

    ax.plot(s, t, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

Função tangente

A função trigonométrica tangente também possui caráter assintótico em várias vizinhanças de seu domínio. Esta, definida por $\tan (\theta )=\frac{\cos (\theta )}{\sin (\theta )}$ possui o seguinte gráfico:

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440 * px, 1440 * px))

u = np.linspace(-4 * pi, 4 * pi, 2000000)

v = np.tan(u)

ax.plot(u, v, color='black', linewidth=0.7)
ax.set_ylim(-12.5, 12.5)
ax.set_xlim(-5 * pi, 5 * pi)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

Analogamente, podemos evidenciar o desaparecimento das assintotas nesta plotagem de uma família de funções $v=\tan (u)+c,u\in [-4\pi ,4\pi ],c\in [-10,10{]}_{\mathbb{N}}$ :

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

u = np.linspace(-4* pi, 4 * pi, 2000000)

for c in range(-10, 11):

    v = np.tan(u) + c

    denominator = u**2 + v**2

    s = (2 * u * (v**2)) / denominator
    t = (2 * (u**2) * v) / denominator

    ax.plot(s, t, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

A função afim

A função afim é muitas vezes considerada uma das funções mais simples, ela é definida da seguinte maneira:

$$f(x)=ax+b$$

Onde $a$ é a inclinação da reta e $b$ o ponto no qual a reta intercepta o eixo vertical. Aqui, consideraremos a função afim em sua forma mais simples:

$$f(x)=x$$

Seu gráfico pode ser observado a seguir:

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

u = np.linspace(-9, 9, 200000)

ax.plot(u, u, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

Essa função não possui assíntotas verticais, no entanto, em coordenadas circulares, podemos observar que, exceto pela função $v_0=u$ , o ponto onde as outras funções tocariam o eixo vertical vão todos pela origem. Isso é bastante intuitivo haja vista a forma que este sistema de coordenadas foi construído: a circunferência centrada em $u$ centrada na origem possui raio 0, isso faz com que a interseção entre as circunferências vão em direção à origem e, em sua vizinhança, arredondem as retas. Você pode verificar isso no gráfico abaixo.

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

u = np.linspace(-9, 9, 200000)

for c in range(-10, 11):

    v = u + c

    denominator = u**2 + v**2

    s = (2 * u * (v**2)) / denominator
    t = (2 * (u**2) * v) / denominator

    ax.plot(s, t, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

A Função Zeta de Riemann $\zeta$

A função zeta de Riemann, denotada por $\zeta (s)$ , é uma função matemática importante na teoria dos números e tem aplicações em outras áreas da matemática e física. Quando tentava obter uma fórmula que permitisse calcular o número de primos menores do que um número dado $n$ , Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) foi conduzido a investigar a série:

$$\zeta (s)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$$

Hoje conhecida como função zeta de Riemann. Há uma hipótese famosa, a qual nunca foi provada, conhecida como Hipótese de Riemann, de que os zeros não-triviais de $\zeta$ tem sempre parte real igual a $\frac{1}{2}$ . Com isso em mente, podemos definir uma "linha crítica" de pontos da forma $\frac{1}{2}+r\cdot i$ , onde $r\in \mathbb{R}$ . Com isso, podemos desenhar o gráfico da Zeta de Riemann para seus zeros não-triviais, dessa forma o eixo horizontal representará a parte real do resultado e o vertical a imaginária. Em termos geométricos, essa linha é importante porque é a única que faz com que a espiral passe pela origem. Isso é importante porque, com essa informação, é possível entender coisas como a frequência dos números primos na reta numérica.

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

x = np.linspace(0, 50, 2000000)
s = 0.5 + 1j * x  # '1j' é como o Python representa a unidade imaginária 'i'

z = zeta(s)

ax.plot(z.real, z.imag, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.set_ylim(-4, 4)
ax.set_xlim(-2, 6)

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

Em coordenadas circulares acabamos com uma figura balanceada bastante interessante:

  
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fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

x = np.linspace(0, 500, 200000)
s = 0.5 + 1j * x

for c in range(-10, 11):

    z = zeta(s) + c

    u = z.real
    v = z.imag

    denominator = u**2 + v**2

    s = (2 * u * (v**2)) / denominator
    t = (2 * (u**2) * v) / denominator

    ax.plot(s, t, color='black', linewidth=0.7)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
ax.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

plt.show()

A Espiral Áurea

O dito Número de Ouro, $\varphi$ , recebe este nome por ser uma constante que dita a harmonia entre proporções, a qual aparece de maneira inesperadamente comum na natureza. Para chegar ao número de Ouro, considere um segmento de reta separado em duas partes desiguais (um maior que o outro), $a,b$ , respectivamente. A razão entre o comprimento total $a+b$ e a parte maior $a$ é igual à razão entre a parte maior $a$ e a menor $b$ . Matematicamente:

$$\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}$$

O valor da constante também pode ser obtido resolvendo a equação quadrática:

$${\varphi }^2-\varphi -1=0$$

Seu valor irracional é: $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,6180339887$

Com isso, podemos produzir a Espiral Áurea: ela é uma espiral logarítmica $r=a\cdot e^{b\cdot \theta }$ onde o raio cresce por um fator $\varphi$ a cada quarto de volta ( $\frac{\pi }{2}$ radianos).

  
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phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2

b = (2 * np.log(phi)) / np.pi

# 'a' é um fator de escala inicial da espiral.
a = 0.2

theta = np.linspace(0, 8 * np.pi, 800)

r = a * np.exp(b * theta)

# Convertendo de coordenadas polares (r, theta) para cartesianas (x, y) para o plot.
x = r * np.cos(theta)
y = r * np.sin(theta)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440 * px, 1440 * px))

# Plotamos os pontos (x, y) para desenhar a espiral.
ax.plot(x, y, color='black', linewidth=2.5)

ax.set_aspect('equal')

plt.show()

Com isso, vamos produzir uma família de 20 espirais áureas rotacionadas.

  
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phi = (1 + np.sqrt(5)) / 2
k = (2 * np.log(phi)) / np.pi
a = 0.02

theta = np.linspace(0, 8 * np.pi, 2000000)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(3440*px, 1440*px))

num_spirals = 20
for i in range(num_spirals):

    rotation_offset = (2 * np.pi / num_spirals) * i

    u = a * np.exp(k * theta) * np.cos(theta + rotation_offset)
    v = a * np.exp(k * theta) * np.sin(theta + rotation_offset)

    denominator = u**2 + v**2

    s = (2 * u * (v**2)) / denominator
    t = (2 * (u**2) * v) / denominator

    ax.plot(s, t, color='black', linewidth=0.8)

ax.set_aspect('equal', adjustable='box')

plt.show()

E aqui chegamos ao fim! As coordenadas circulares nos ajudam a visualizar funções de uma maneira não-usual, permitindo-nos gerar belíssimas imagens com curvas suaves, verdadeiras artes matemáticas! Você pode utilizar deste notebook e dos materiais citados nas células anteriores para implementar suas próprias curvas e enviar para projetovisitas@gmail.com, vamos adorar ver suas criações.

Att, Gabriel Ribeiro.